Robert Sturm naît en 1965 à Dresde de parents comédiens. Début 1989, il s’installe en République fédérale et étudie à partir de 1990 à Cologne les sciences théâtrales, le cinéma et la télévision ainsi que la philosophie et la politique internationale. Avant même la fin de ses études, il se lance dans la pratique et travaille à Budapest et Szolnok comme assistant à la réalisation et dramaturge avant de réaliser ses premières mises en scène. En 1999, il accompagne le Tanztheater Wuppertal au cours du voyage de recherche en Hongrie pour Wiesenland. Il devient d’abord assistant pour la production en cours et à partir de 2000, Pina Bausch l’engage comme assistant artistique et directeur de répétition. À cette fonction, Sturm collabore étroitement avec Pina Bausch pour le développement de ses dix dernières créations – Wiesenland, Água, Pour les enfants d’hier, d’aujourd’hui et de demain, Nefés, Ten Chi, Rough Cut, Pleine lune, Bamboo Blues, 'Sweet Mambo' et Comme la mousse sur la pierre – et également pour les reprises de nombreuses pièces du répertoire telles que Kontakthof, 1980 – Une pièce de Pina Bausch, Bandonéon, Les œillets, Sur la montagne, on entendit un hurlement, Viktor, Palermo Palermo, Le laveur de vitres et Masurca Fogo.
Après la mort de Pina Bausch en 2009, Robert Sturm reprend, aux côtés de Dominique Mercy, la direction artistique du Tanztheater Wuppertal jusqu’en 2013. Il dirige avec Ulli Stepan la saison 2013/2014 consacrée au 40ème anniversaire de la compagnie « PINA40 – 40 Jahre Tanztheater Wuppertal Pina Bausch » et travaille depuis comme directeur de l’administration artistique et directeur de répétition. En 2015 et 2017, Sturm met en scène à Wuppertal les projets pluridisciplinaires Roméo et Juliette et Don Quichotte de la Mancha en collaboration, entre autres, avec Tony Cragg, Hubert Schirneck, Jean Laurent Sasportes, Wolfgang Schmidtke, Carolin Pook, Matthias Bukert, Gunda Gottschalk et Werner Dickel. En 2021, il met en scène sa version de Moby-Dick sur une musique originale d’Alexander Balanescu et dans un décor de Tony Cragg. En plus des quatre comédien·ne·s sur scène, il y a les anciens danseurs de Pina Bausch Ed Kortlandt, Jan Minarik, Jean Laurent Sasportes et Mark Sieczkarek. Depuis 2019, Robert Sturm est directeur artistique du Tanztheater.